Calcolo Esempi

$y = \sqrt{e^{x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{e^{x}}$ come $e^{\frac{x}{2}}$ .

$y = e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 4.2

Differenzia.

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Passaggio 4.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2.2

$\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ per $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$