Calcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

Passaggio 1

Per scrivere $\frac{1}{n}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{n + 1}{n + 1}$ .

$\frac{1}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{1}{n + 1}$

Passaggio 2

Per scrivere $- \frac{1}{n + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{n}{n}$ .

$\frac{1}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

Passaggio 3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $n (n + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{n}$ per $\frac{n + 1}{n + 1}$ .

$\frac{n + 1}{n (n + 1)} - \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{n + 1}$ per $\frac{n}{n}$ .

$\frac{n + 1}{n (n + 1)} - \frac{n}{(n + 1) n}$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori di $(n + 1) n$ .

$\frac{n + 1}{n (n + 1)} - \frac{n}{n (n + 1)}$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{n + 1 - n}{n (n + 1)}$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $n$ da $n$ .

$\frac{0 + 1}{n (n + 1)}$

Passaggio 5.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{n (n + 1)}$

Passaggio 6

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)}$