Calcolo Esempi

$\ln (| \cos (\frac{π}{x}) |)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | \cos (\frac{π}{x}) |$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $| \cos (\frac{π}{x}) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $| \cos (\frac{π}{x}) |$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = \cos (\frac{π}{x})$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\cos (\frac{π}{x})$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

Passaggio 2.2

La derivata di $| u_{2} |$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (\frac{π}{x})$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ per $\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) | | \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Passaggio 4

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Passaggio 5

Eleva $\cos (\frac{π}{x})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Passaggio 6

Eleva $\cos (\frac{π}{x})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos^{1} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Passaggio 7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| {\cos (\frac{π}{x})}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Passaggio 8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{π}{x}$ .

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Passaggio 9.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\frac{π}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

Passaggio 9.2

La derivata di $\cos (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

Passaggio 9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\frac{π}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (\frac{π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

Passaggio 10

Differenzia.

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Passaggio 10.1

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ e $\sin (\frac{π}{x})$ .

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

Passaggio 10.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π}{x}$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 10.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 10.3.1

$π$ e $\frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ .

$- \frac{π (\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}))}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 10.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 10.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- x^{- 2})$

Passaggio 10.5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 10.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

Passaggio 10.5.2

Moltiplica $\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ per $1$ .

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

Passaggio 10.5.3

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ e $x^{- 2}$ .

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}) x^{- 2}}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

Passaggio 10.5.4

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) | x^{2}}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Riordina i termini.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} | \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

Passaggio 11.2

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $\cos (\frac{π}{x})$ e $\cos^{2} (\frac{π}{x})$ .

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Passaggio 11.3.1

Scomponi $\cos (\frac{π}{x})$ da $π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

Passaggio 11.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.3.2.1

Scomponi $\cos (\frac{π}{x})$ da $x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

Passaggio 11.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

Passaggio 11.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos (\frac{π}{x})}$

Passaggio 11.4

Frazioni separate.

$\frac{π}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$

Passaggio 11.5

Converti da $\frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$ a $\tan (\frac{π}{x})$ .

$\frac{π}{x^{2}} \tan (\frac{π}{x})$

Passaggio 11.6

$\frac{π}{x^{2}}$ e $\tan (\frac{π}{x})$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{x})}{x^{2}}$