Calcolo Esempi

$\int_{2}^{4} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 2 \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4$ da $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $4$ da $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $4 \tan^{2} (t)$ come ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $2 \sec (t)$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $2 \sec (t)$ da $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Passaggio 3

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 4

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Passaggio 5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 6

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 8

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d t + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

Passaggio 11

Poiché la derivata di $\tan (t)$ è $\sec^{2} (t)$ , l'integrale di $\sec^{2} (t)$ è $\tan (t)$ .

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Passaggio 12

$- t]_{0}^{\frac{π}{3}}$ e $\tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$2 (- t + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Passaggio 13

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 13.1

Calcola $- t + \tan (t)$ per $\frac{π}{3}$ e per $0$ .

$2 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

Passaggio 13.2

Semplifica.

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Passaggio 13.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

Passaggio 13.2.2

Somma $0$ e $\tan (0)$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

Passaggio 14.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

Passaggio 14.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

Passaggio 14.4

Somma $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ e $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (- \frac{π}{3}) + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $2 (- \frac{π}{3})$ .

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Passaggio 15.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.2

$- 2$ e $\frac{π}{3}$ .

$\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 15.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Forma decimale:

$1.36970651 \dots$

Passaggio 17