Calcolo Esempi

$\ln (1 + \frac{a}{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + \frac{a}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \frac{a}{x}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{a}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

Passaggio 2.4

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{a}{x}$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 2.5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.5.1

$a$ e $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})$

Passaggio 2.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.7.1

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ e $x^{- 2}$ .

$- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}$

Passaggio 2.7.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

Passaggio 3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

Passaggio 3.2.2

$\frac{a}{x}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Scomponi $x$ da $a x^{2}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}$

Passaggio 3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}$

Passaggio 3.2.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

Passaggio 3.2.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

Passaggio 3.2.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}$

Passaggio 3.2.3.2.5

Dividi $a x$ per $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + a x}$

Passaggio 3.3

Scomponi $x$ da $x^{2} + a x$ .

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$- \frac{a}{x \cdot x + a x}$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $x$ da $a x$ .

$- \frac{a}{x \cdot x + x a}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x a$ .

$- \frac{a}{x (x + a)}$