Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} - x + 11}{7 x^{2} - x + 2}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - x + 11}{lim_{x \to \infty} 7 x^{2} - x + 2}$

Passaggio 1.2

Il limite che tende a infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è negativo è meno infinito.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{2} - x + 2}$

Passaggio 1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} - x + 11}{7 x^{2} - x + 2} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2} - x + 11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2} - x + 11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} - x + 11$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Passaggio 3.5

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Passaggio 3.6

Somma $- 2 x - 1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} - x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Passaggio 3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.8.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Passaggio 3.8.3

Moltiplica $2$ per $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Passaggio 3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 3.9.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Passaggio 3.9.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Passaggio 3.9.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Passaggio 3.10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 + 0}$

Passaggio 3.11

Somma $14 x - 1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1}$

Passaggio 4

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Passaggio 5.1.2

Dividi $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Passaggio 5.2.2

Dividi $14$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{14 - \frac{1}{x}}$

Passaggio 5.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 2 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Passaggio 5.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{- 2 - 0}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

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Passaggio 7.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- 2 - 0}{lim_{x \to \infty} 14 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 7.2

Calcola il limite di $14$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- 2 - 0}{14 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{- 2 - 0}{14 - 0}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{- 2 + 0}{14 - 0}$

Passaggio 9.1.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$\frac{- 2}{14 - 0}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{- 2}{14 + 0}$

Passaggio 9.2.2

Somma $14$ e $0$ .

$\frac{- 2}{14}$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $14$ .

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Passaggio 9.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{14}$

Passaggio 9.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $2$ da $14$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 7}$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 7}$

Passaggio 9.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{7}$

Passaggio 9.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{7}$