Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $x^{2} - 4$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 4) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 4) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 4) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4)) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (- 4)) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.2.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.2.7

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 4) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 4) (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (2 x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 4) (2 \cdot ((x^{2} - 4) x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} - 4)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Riscrivi ${(x^{2} - 4)}^{2}$ come $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} - 4) (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3

Espandi $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} - 4) - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 4 \cdot x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 8 x^{2} + 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (- 8 x^{2}) - 2 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.6.1

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 16 x^{2} - 2 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.6.2

Moltiplica $- 2$ per $16$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 16 x^{2} - 32) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x + 16 x^{2} x - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 16 x^{2} x - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 16 x^{2} x - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} + 16 x^{2} x - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{2} x - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 (x \cdot x^{2}) - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 (x \cdot x^{2}) - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{1 + 2} - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + (4 x^{2} - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.9.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + (4 x^{2} + 16) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + (4 x^{2} + 16) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + (4 x^{2} + 16) (x^{2 + 1} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + (4 x^{2} + 16) (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11

Espandi $(4 x^{2} + 16) (x^{3} - 4 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{2} (x^{3} - 4 x) + 16 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 4 x) + 16 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 4 x) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (- 4 x) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (- 4 x) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (- 4 x) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 4 x^{2} x) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 4 x^{3}) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.4

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} - 16 x^{3} + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.5

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} - 16 x^{3} + 16 x^{3} - 64 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.2

Somma $- 16 x^{3}$ e $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} + 0 - 64 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.3

Somma $4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} - 64 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.2

Somma $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x - 64 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.3

Sottrai $64 x$ da $- 32 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 16 x^{3} - 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5} + 16 x^{3} - 96 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 16 x^{3} - 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.2

Scomponi $2 x$ da $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (8 x^{2}) - 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.3

Scomponi $2 x$ da $- 96 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4}) + 2 x (8 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 x (- 48)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} + 8 u - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.4

Scomponi $u^{2} + 8 u - 48$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 48$ e la cui somma è $8$ .

$- 4, 12$

Passaggio 2.5.4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 4) (u + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.6

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.5.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{4}}$

Passaggio 2.5.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{4}}$

Passaggio 2.5.5.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 2.5.6

Elimina il fattore comune di $x + 2$ e ${(x + 2)}^{4}$ .

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Passaggio 2.5.6.1

Scomponi $x + 2$ da $2 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((2 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 2.5.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.1

Scomponi $x + 2$ da ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((2 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Passaggio 2.5.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((2 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Passaggio 2.5.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(2 x (x - 2)) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 2.5.7

Elimina il fattore comune di $x - 2$ e ${(x - 2)}^{4}$ .

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Passaggio 2.5.7.1

Scomponi $x - 2$ da $(2 x (x - 2)) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((2 x) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 2.5.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.2.1

Scomponi $x - 2$ da ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((2 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Passaggio 2.5.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((2 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Passaggio 2.5.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6