Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} {(1 + \frac{7}{x})}^{x}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(1 + \frac{7}{x})}^{x}$ come $e^{\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x \frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{7}{x})] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + \frac{7}{x}$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 + \frac{7}{x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + \frac{7}{x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{1}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{1 + \frac{7}{x}}$ e $x$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{7}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.5

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{7}{x}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.6.1

$7$ e $\frac{x}{1 + \frac{7}{x}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.6.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} (- x^{- 2}) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.8

$\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}}$ e $x^{- 2}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x \cdot x^{- 2}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $x^{- 2}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 (x^{- 2} x)}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 (x^{- 2} x^{1})}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x^{- 2 + 1}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.3

Somma $- 2$ e $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x^{- 1}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Sposta $x^{- 1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 1)$

Passaggio 9

Moltiplica $\ln (1 + \frac{7}{x})$ per $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}))$

Passaggio 10

Per scrivere $\ln (1 + \frac{7}{x})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot \frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x})$

Passaggio 11

$\ln (1 + \frac{7}{x})$ e $\frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \frac{\ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x})$

Passaggio 12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \frac{- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

Passaggio 13

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}$ e $\frac{- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ .

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x))}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (1 x + \frac{7}{x} x))}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (1 x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Passaggio 14.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 14.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 14.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 14.3.1.1.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Passaggio 14.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 14.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Passaggio 14.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + 7))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Passaggio 14.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 7)}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Passaggio 14.3.1.3

Moltiplica $\ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 7$ .

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Passaggio 14.3.1.3.1

Riordina $\ln (1 + \frac{7}{x})$ e $7$ .

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + 7 \cdot \ln (1 + \frac{7}{x}))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Passaggio 14.3.1.3.2

Semplifica $7 \cdot \ln (1 + \frac{7}{x})$ spostando $7$ all'interno del logaritmo.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7}))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Passaggio 14.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \cdot - 7 + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Passaggio 14.3.3

Sposta $- 7$ alla sinistra di $e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}$ .

$\frac{- 7 \cdot e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Passaggio 14.3.4

Riordina i fattori in $- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Passaggio 14.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 14.4.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7}{x} x}$

Passaggio 14.4.2

$\frac{7}{x}$ e $x$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7 x}{x}}$

Passaggio 14.4.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 14.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7 x}{x}}$

Passaggio 14.4.3.2

Dividi $7$ per $1$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + 7}$

Passaggio 14.5

Riordina i termini.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} x \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7}) - 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}}{x + 7}$