Calcolo Esempi

$\frac{\sqrt{3 x - 2}}{x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 x - 2}$ come ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}] - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 2$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8.3

Sposta ${(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 12

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 13

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 14

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 14.2

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $3$ .

$\frac{\frac{x \cdot 3}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 14.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\frac{3 \cdot x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 15

Moltiplica $\frac{\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ per $\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 16

Combina.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 17

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 18

Elimina il fattore comune di $2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 18.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 18.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 19

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 21

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 21.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 21.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 22

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 22.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 22.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{1} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23

Semplifica.

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 24

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2) \cdot 1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 25

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2)}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 26

Semplifica.

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Passaggio 26.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 26.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 26.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 26.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{3 x - 6 x - 2 \cdot - 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 26.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{3 x - 6 x + 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 26.2.2

Sottrai $6 x$ da $3 x$ .

$\frac{- 3 x + 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 26.3

Riordina i termini.

$\frac{- 3 x + 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 26.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 26.5

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 26.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (3 x - 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 26.7

Riscrivi $- (3 x - 4)$ come $- 1 (3 x - 4)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 26.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 x - 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$