Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (1 + 0))}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) \cdot 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{2 ((x + 1) (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.2

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + x + 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.3.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{(2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 4 x + 2) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.7.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.7.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.7.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.7.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.7.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 (x \cdot x) + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.7.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.8

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + (- 2 x^{2} + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.9

Espandi $(- 2 x^{2} + 2) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} (x + 1) + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.10.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.10.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.10.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.10.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.10.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.10.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.10.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 0 - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $4 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.3

Sottrai $2 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.2.4

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 4 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 4 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.3.1.2

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (2 x) + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.3.1.3

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.3.1.4

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (2 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.3.1.5

Scomponi $2$ da $2 (x^{2} + 2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.3.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 5.3.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.3.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ e ${(x + 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da $2 {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da ${(x + 1)}^{4}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$