Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 3 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 3 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $9$ da $9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $9$ da $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $9$ da $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $9 \cos^{2} (t)$ come ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $3 \cos (t)$ .

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\int d t$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$t + C$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\arcsin (\frac{x}{3}) + C$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$\arcsin (\frac{1}{3} x) + C$