Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Scomponi $x^{- 3}$ da $x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3}$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $x^{- 3}$ da $x^{- 1}$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} - x^{- 2} + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x^{- 3}$ da $- x^{- 2}$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x) + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica per $1$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x) + x^{- 3} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $x^{- 3}$ da $x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x)$ .

$\int \frac{x^{- 3} (x^{2} - x) + x^{- 3} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 1.1.5

Scomponi $x^{- 3}$ da $x^{- 3} (x^{2} - x) + x^{- 3} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{- 3} (x^{2} - x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 1.2

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} x^{3}} d x$

Passaggio 1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2 + 3}} d x$

Passaggio 1.3.2

Somma $2$ e $3$ .

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{5}} d x$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Sposta $x^{5}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x^{2} - x + 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} - x + 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\int (x^{2} - x + 1) x^{- 5} d x$

Passaggio 3

Espandi $(x^{2} - x + 1) x^{- 5}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{2} - x) x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{2} x^{- 5} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{2 - 5} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 3.4

Sottrai $5$ da $2$ .

$\int x^{- 3} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 3.5

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int x^{- 3} - (x \cdot x^{- 5}) + 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{- 3} - (x^{1} x^{- 5}) + 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{- 3} - x^{1 - 5} + 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 3.8

Sottrai $5$ da $1$ .

$\int x^{- 3} - x^{- 4} + 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 3.9

Moltiplica $x^{- 5}$ per $1$ .

$\int x^{- 3} - x^{- 4} + x^{- 5} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{- 3} d x + \int - x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int - x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int x^{- 5} d x$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int x^{- 5} d x$

Passaggio 8.2

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int x^{- 5} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$

Passaggio 10

Semplifica.

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 x^{3}} - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$