Calcolo Esempi

$\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ è positivo.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.2

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $9$ da $9$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $9$ da $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $9$ da $9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1 + \tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.5

Rimetti in ordine i termini.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.6

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.7

Riscrivi $9 \sec^{2} (t)$ come ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3 \sec (t)}$ per $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \sec (t) \cdot 2} d t$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{6 \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $3$ da $3 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 (\sec^{2} (t))}{6 \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $6 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 (\sec^{2} (t))}{3 (2 \sec (t))} d t$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 (2 \sec (t))} d t$

Passaggio 2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec^{2} (t)}{2 \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{2 \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Scomponi $\sec (t)$ da $2 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Passaggio 2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Passaggio 2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t)}{2} d t$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1.27933953} \sec (t) d t$

Passaggio 4

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{1.27933953}$

Passaggio 5

Calcola $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ per $1.27933953$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 + \tan (0) |))$

Passaggio 6.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 6.3

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})$

Passaggio 6.5

$\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})}{2}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)$ corrisponde approssimativamente a $6.8134355$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{\ln (\frac{\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)}{| 1 |})}{2}$

Passaggio 7.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{\ln (\frac{\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)}{1})}{2}$

Passaggio 7.3

Dividi $\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)$ per $1$ .

$\frac{\ln (\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953))}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\ln (\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953))}{2}$

Forma decimale:

$0.95944823 \dots$

Passaggio 9