Calcolo Esempi

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Allora $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , quindi $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 3.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 3.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.1.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 3.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 3.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 3.1.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.1.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = - 1^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

Passaggio 4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{u} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} e^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{u}]_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 7

Calcola $e^{u}$ per $- t^{\frac{1}{2}}$ e per $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1})$

Passaggio 8

Calcola il limite.

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Passaggio 8.1

Calcola il limite.

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Passaggio 8.1.1

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1}$

Passaggio 8.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- 2 (lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

Passaggio 8.2

Poiché l'esponente $- t^{\frac{1}{2}}$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{- t^{\frac{1}{2}}}$ tende a $0$ .

$- 2 (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

Passaggio 8.3

Calcola il limite.

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Passaggio 8.3.1

Calcola il limite di $e^{- 1}$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$- 2 (0 - e^{- 1})$

Passaggio 8.3.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.3.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (0 - \frac{1}{e})$

Passaggio 8.3.2.2

Sottrai $\frac{1}{e}$ da $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{e})$

Passaggio 8.3.2.3

Moltiplica $- 2 (- \frac{1}{e})$ .

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Passaggio 8.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 \frac{1}{e}$

Passaggio 8.3.2.3.2

$2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2}{e}$

Forma decimale:

$0.73575888 \dots$