Calcolo Esempi

$y'''' + y'''''''' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

Passaggio 1

Trova $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Passaggio 1.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Passaggio 1.3.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 2 e^{2 x}$

Passaggio 2

Trova $y''$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.4

Rimuovi le parentesi.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

Passaggio 2.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

Passaggio 3

Trova $y'''$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata.

$y''' = \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Passaggio 3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''' = 4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$y''' = 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y''' = 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y''' = 4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.4

Rimuovi le parentesi.

$y''' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''' = 4 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y''' = 8 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y''' = 8 e^{2 x} \cdot 1$

Passaggio 3.8

Moltiplica $8$ per $1$ .

$y''' = 8 e^{2 x}$

Passaggio 4

Trova $y''''$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta la derivata.

$y'''' = \frac{d}{d x} [8 e^{2 x}]$

Passaggio 4.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''' = 8 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$y'''' = 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y'''' = 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y'''' = 8 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 4.4

Rimuovi le parentesi.

$y'''' = 8 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''' = 8 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6

Moltiplica $2$ per $8$ .

$y'''' = 16 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y'''' = 16 e^{2 x} \cdot 1$

Passaggio 4.8

Moltiplica $16$ per $1$ .

$y'''' = 16 e^{2 x}$

Passaggio 5

Trova $y'''''$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta la derivata.

$y''''' = \frac{d}{d x} [16 e^{2 x}]$

Passaggio 5.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''''' = 16 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$y''''' = 16 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 5.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y''''' = 16 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 5.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y''''' = 16 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 5.4

Rimuovi le parentesi.

$y''''' = 16 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''''' = 16 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.6

Moltiplica $2$ per $16$ .

$y''''' = 32 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y''''' = 32 e^{2 x} \cdot 1$

Passaggio 5.8

Moltiplica $32$ per $1$ .

$y''''' = 32 e^{2 x}$

Passaggio 6

Trova $y''''''$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta la derivata.

$y'''''' = \frac{d}{d x} [32 e^{2 x}]$

Passaggio 6.2

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $32 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $32 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''''' = 32 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 6.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$y'''''' = 32 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 6.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y'''''' = 32 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 6.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y'''''' = 32 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 6.4

Rimuovi le parentesi.

$y'''''' = 32 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''''' = 32 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.6

Moltiplica $2$ per $32$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x} \cdot 1$

Passaggio 6.8

Moltiplica $64$ per $1$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x}$

Passaggio 7

Trova $y'''''''$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta la derivata.

$y''''''' = \frac{d}{d x} [64 e^{2 x}]$

Passaggio 7.2

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $64 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''''''' = 64 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 7.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$y''''''' = 64 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 7.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y''''''' = 64 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 7.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y''''''' = 64 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 7.4

Rimuovi le parentesi.

$y''''''' = 64 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 7.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''''''' = 64 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.6

Moltiplica $2$ per $64$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x} \cdot 1$

Passaggio 7.8

Moltiplica $128$ per $1$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x}$

Passaggio 8

Trova $y''''''''$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta la derivata.

$y'''''''' = \frac{d}{d x} [128 e^{2 x}]$

Passaggio 8.2

Poiché $128$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $128 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $128 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''''''' = 128 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 8.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$y'''''''' = 128 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y'''''''' = 128 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 8.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y'''''''' = 128 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 8.4

Rimuovi le parentesi.

$y'''''''' = 128 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 8.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''''''' = 128 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.6

Moltiplica $2$ per $128$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x} \cdot 1$

Passaggio 8.8

Moltiplica $256$ per $1$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x}$

Passaggio 9

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

$16 e^{2 x} + 256 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Passaggio 10

Somma $16 e^{2 x}$ e $256 e^{2 x}$ .

$272 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Passaggio 11

La soluzione data non soddisfa l'equazione differenziale data.

$y = e^{2 x}$ non è una soluzione a $y'''' + y'''''''' = 6 e^{2 x}$