Calcolo Esempi

$\frac{2 x^{2} + x - 3}{2 x + 7}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x^{2} + x - 3$ e $g (x) = 2 x + 7$ .

$\frac{(2 x + 7) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 3] - (2 x^{2} + x - 3) \frac{d}{d x} [2 x + 7]}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(2 x + 7) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} + x - 3) \frac{d}{d x} [2 x + 7]}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x + 7) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} + x - 3) \frac{d}{d x} [2 x + 7]}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 x + 7) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} + x - 3) \frac{d}{d x} [2 x + 7]}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{(2 x + 7) (4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} + x - 3) \frac{d}{d x} [2 x + 7]}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 7) (4 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x^{2} + x - 3) \frac{d}{d x} [2 x + 7]}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x + 7) (4 x + 1 + 0) - (2 x^{2} + x - 3) \frac{d}{d x} [2 x + 7]}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $4 x + 1$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 7) (4 x + 1) - (2 x^{2} + x - 3) \frac{d}{d x} [2 x + 7]}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(2 x + 7) (4 x + 1) - (2 x^{2} + x - 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 7) (4 x + 1) - (2 x^{2} + x - 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 7) (4 x + 1) - (2 x^{2} + x - 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x + 7) (4 x + 1) - (2 x^{2} + x - 3) (2 + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x + 7) (4 x + 1) - (2 x^{2} + x - 3) (2 + 0)}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.13.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 7) (4 x + 1) - (2 x^{2} + x - 3) \cdot 2}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.13.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(2 x + 7) (4 x + 1) - 2 (2 x^{2} + x - 3)}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 7) (4 x + 1) - 2 (2 x^{2}) - 2 x - 2 \cdot - 3}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Espandi $(2 x + 7) (4 x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (4 x + 1) + 7 (4 x + 1) - 2 (2 x^{2}) - 2 x - 2 \cdot - 3}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (4 x) + 2 x \cdot 1 + 7 (4 x + 1) - 2 (2 x^{2}) - 2 x - 2 \cdot - 3}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (4 x) + 2 x \cdot 1 + 7 (4 x) + 7 \cdot 1 - 2 (2 x^{2}) - 2 x - 2 \cdot - 3}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 \cdot 4 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 7 (4 x) + 7 \cdot 1 - 2 (2 x^{2}) - 2 x - 2 \cdot - 3}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 \cdot 4 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 7 (4 x) + 7 \cdot 1 - 2 (2 x^{2}) - 2 x - 2 \cdot - 3}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 7 (4 x) + 7 \cdot 1 - 2 (2 x^{2}) - 2 x - 2 \cdot - 3}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 7 (4 x) + 7 \cdot 1 - 2 (2 x^{2}) - 2 x - 2 \cdot - 3}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 2 x + 7 (4 x) + 7 \cdot 1 - 2 (2 x^{2}) - 2 x - 2 \cdot - 3}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.5

Moltiplica $4$ per $7$ .

$\frac{8 x^{2} + 2 x + 28 x + 7 \cdot 1 - 2 (2 x^{2}) - 2 x - 2 \cdot - 3}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.6

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 2 x + 28 x + 7 - 2 (2 x^{2}) - 2 x - 2 \cdot - 3}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Somma $2 x$ e $28 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 30 x + 7 - 2 (2 x^{2}) - 2 x - 2 \cdot - 3}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{8 x^{2} + 30 x + 7 - 4 x^{2} - 2 x - 2 \cdot - 3}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} + 30 x + 7 - 4 x^{2} - 2 x + 6}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 30 x + 7 - 2 x + 6}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $2 x$ da $30 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 28 x + 7 + 6}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Somma $7$ e $6$ .

$\frac{4 x^{2} + 28 x + 13}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot 13 = 52$ e la cui somma è $b = 28$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $28$ da $28 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 28 (x) + 13}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi $28$ come $2$ più $26$ .

$\frac{4 x^{2} + (2 + 26) x + 13}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 26 x + 13}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x) + 26 x + 13}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{2 x (2 x + 1) + 13 (2 x + 1)}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 13)}{{(2 x + 7)}^{2}}$