Calcolo Esempi

$y = \frac{x - x^{2}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x - x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Scomponi $x$ da $x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{1} - x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 1 - x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.3

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 1 + x (- x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (1 - x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x (1 - x) x^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x (1 - x)]$

Passaggio 4.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (1 - x)]$

Passaggio 4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 1} (1 - x)]$

Passaggio 4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (1 - x)]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (1 - x)]$

Passaggio 4.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (1 - x)]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 6.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 6.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 6.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 6.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 6.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 6.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 6.6.3

Riscrivi $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ come $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 6.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 12

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 13

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + (1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{\frac{1}{2}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.2

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.4

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.4.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 14.2.5

Per scrivere $- x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.6

$- x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.9

Sottrai $x^{\frac{1}{2}}$ da $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$