Calcolo Esempi

$y = x^{2 x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{2 x})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della potenza generalizzata secondo cui $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = x$ e $g = 2 x$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 x \cdot x^{2 x - 1}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2 x - 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1

Sposta $x^{2 x - 1}$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 (x^{2 x - 1} x)) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $x^{2 x - 1}$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 (x^{2 x - 1} x^{1})) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Passaggio 3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x - 1 + 1}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Passaggio 3.2.3

Combina i termini opposti in $2 x - 1 + 1$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x + 0}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{d}{d y} [x] (2 x^{2 x}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x' (2 x^{2 x}) + \frac{d}{d y} [2 x] (x^{2 x} \ln (x))$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x' (2 x^{2 x}) + 2 \frac{d}{d y} [x] (x^{2 x} \ln (x))$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x' (2 x^{2 x}) + 2 x' (x^{2 x} \ln (x))$

Passaggio 3.6

Riordina i termini.

$2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = 2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x' = 1$ .

$2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x' = 1$

Passaggio 5.2

Semplifica $2 x^{2 x} x' + 2 x^{2 x} \ln (x) x'$ .

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Passaggio 5.2.1

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$2 x^{2 x} x' + x^{2 x} \ln (x^{2}) x' = 1$

Passaggio 5.2.2

Riordina i fattori in $2 x^{2 x} x' + x^{2 x} \ln (x^{2}) x'$ .

$2 x' x^{2 x} + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

Passaggio 5.3

Scomponi $x' x^{2 x}$ da $2 x' x^{2 x} + x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $x' x^{2 x}$ da $2 x' x^{2 x}$ .

$x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x' x^{2 x}$ da $x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ .

$x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2}) = 1$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x' x^{2 x}$ da $x' x^{2 x} \cdot 2 + x' x^{2 x} \ln (x^{2})$ .

$x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$

Passaggio 5.4

Dividi per $x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))$ ciascun termine in $x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))$ ciascun termine in $x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2})) = 1$ .

$\frac{x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2 x}$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (2 + \ln (x^{2}))}{2 + \ln (x^{2})} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2 + \ln (x^{2})$ .

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Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (2 + \ln (x^{2}))}{2 + \ln (x^{2})} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2 x} (2 + \ln (x^{2}))}$