Calcolo Esempi

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 5

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 6

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 8

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 9

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Espandi $(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.2

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.2.1.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin (x) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.3

Moltiplica $- \cos (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.2.1.3.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.3.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.4

Moltiplica $- \cos (x) (- \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2.1.4.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2.2

Riordina i fattori di $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2.3

Somma $\cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.4

Scomponi $- 1$ da $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.6

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.7.1

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x)) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.7.2

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.7.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\frac{\sin (2 x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.7.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.8

Espandi $(- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.9.1.1

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.9.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.9.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.9.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.9.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.9.1.2

Moltiplica $- \cos (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.9.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.9.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.9.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.9.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.9.2

Riordina i fattori di $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.9.3

Sottrai $\cos (x) \sin (x)$ da $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.10

Scomponi $- 1$ da $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.11

Scomponi $- 1$ da $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.12

Scomponi $- 1$ da $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.13

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.3

Riordina i termini.

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.5

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.6

Scomponi $- 1$ da $- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (2)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.7

Scomponi $- 1$ da $\sin (2 x)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) - 1 (- \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.8

Scomponi $- 1$ da $- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) - 1 (- \sin (2 x))$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.9

Riscrivi $- (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))$ come $- 1 (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))$ .

$\frac{- 1 (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$