Calcolo Esempi

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (θ)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (θ)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ))}^{2}}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (θ)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (θ)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$\frac{\cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (θ)}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (θ)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (θ)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $θ$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $θ$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{1 - \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$\frac{0}{1 - \sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (θ)}{1 - \sin (θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (θ) (- \sin (θ))}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}$

Passaggio 1.3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $1$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

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Passaggio 1.3.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $- \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Passaggio 1.3.7.2

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}{0 - \cos (θ)}$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $\cos (θ)$ da $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}{- \cos (θ)}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $\cos (θ)$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}{- \cos (θ)}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \sin (θ)}{- 1}$

Passaggio 1.4.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 2 \sin (θ)}{- 1}$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 1 \cdot (- 2 \sin (θ))$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $- - 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $θ$ .

$- - 2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)$

Passaggio 2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$2 \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)$

Passaggio 3

Calcola il limite di $θ$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $θ$ .

$2 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$