Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x \ln (x) \ln (\ln (x))} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = \ln (x)$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \ln (u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , quindi $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 4

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (u_{1})$ .

$\ln (| \ln (u_{1}) |) + C$

Passaggio 4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (x)$ .

$\ln (| \ln (\ln (x)) |) + C$