Calcolo Esempi

$\int_{- \infty}^{0} e^{2 x} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} e^{2 x} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 t$

Passaggio 2.3

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2 t$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} \int_{2 t}^{0} e^{u} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} e^{u}]_{2 t}^{0}$

Passaggio 6

$\frac{1}{2}$ e $e^{u}]_{2 t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{e^{u}]_{2 t}^{0}}{2}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $e^{u}$ per $0$ e per $2 t$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{(e^{0}) - e^{2 t}}{2}$

Passaggio 7.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{2 t}}{2}$

Passaggio 8

Calcola il limite.

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Passaggio 8.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{2 t}$

Passaggio 8.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $- \infty$ .

$\frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

Passaggio 8.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $- \infty$ .

$\frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

Passaggio 8.2

Poiché l'esponente $2 t$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{2 t}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} (1 - 0)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.3.1

Sottrai $0$ da $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$