Calcolo Esempi

$\frac{2 d y}{3 d x} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Metti in evidenza $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d y}{d x} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$\frac{2}{3} d y = {(x - 2)}^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2}{3} d y = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = x - 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = x - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int u^{2} d u$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{2}{3}$ e $y$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.3.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $\frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ e ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

$K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + K \cdot 3)$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sposta $3$ alla sinistra di $K$ .

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + 3 K)$

Passaggio 3.2.2.1.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} + \frac{1}{2} (3 K)$

Passaggio 3.2.2.1.5.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{1}{2} (3 K)$

Passaggio 3.2.2.1.6

Moltiplica $\frac{1}{2} (3 K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.6.1

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} K$

Passaggio 3.2.2.1.6.2

$\frac{3}{2}$ e $K$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{{(x - 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Usa il teorema binomiale.

$y = \frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Passaggio 3.3.2.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + 3 K}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + K}{2}$