Calcolo Esempi

$lim_{n \to \infty} {(\frac{n}{n + 1})}^{n}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\frac{n}{n + 1})}^{n}$ come $e^{\ln ({(\frac{n}{n + 1})}^{n})}$ .

$lim_{n \to \infty} e^{\ln ({(\frac{n}{n + 1})}^{n})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(\frac{n}{n + 1})}^{n})$ spostando $n$ fuori dal logaritmo.

$lim_{n \to \infty} e^{n \ln (\frac{n}{n + 1})}$

Passaggio 2

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{n \to \infty} n \ln (\frac{n}{n + 1})}$

Passaggio 3

Riscrivi $n \ln (\frac{n}{n + 1})$ come $\frac{\ln (\frac{n}{n + 1})}{\frac{1}{n}}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (\frac{n}{n + 1})}{\frac{1}{n}}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (\frac{n}{n + 1})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 4.1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.2.2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $n$ nel denominatore, che è $n$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.2.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{\ln (lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{\ln (lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.2.3.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $n$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.2.3.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $n$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.2.3.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $n$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.2.3.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $n$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{n}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1.2.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Dividi $1$ per $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 4.1.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{n}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (\frac{n}{n + 1})}{\frac{1}{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (\frac{n}{n + 1})]}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (\frac{n}{n + 1})]}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ è $f' (g (n)) g' (n)$ dove $f (n) = \ln (n)$ e $g (n) = \frac{n}{n + 1}$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{n}{n + 1}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d n} [\frac{n}{n + 1}]}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d n} [\frac{n}{n + 1}]}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{n}{n + 1}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{n}{n + 1}} \frac{d}{d n} [\frac{n}{n + 1}]}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{n}{n + 1}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{1 \frac{n + 1}{n} \frac{d}{d n} [\frac{n}{n + 1}]}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $\frac{n + 1}{n}$ per $1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \frac{d}{d n} [\frac{n}{n + 1}]}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.5

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ è $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ dove $f (n) = n$ e $g (n) = n + 1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{(n + 1) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [n + 1]}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è $n \cdot n^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{(n + 1) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [n + 1]}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $n + 1$ per $1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n + 1 - n \frac{d}{d n} [n + 1]}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $n + 1$ rispetto a $n$ è $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [1]$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n + 1 - n (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [1])}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è $n \cdot n^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n + 1 - n (1 + \frac{d}{d n} [1])}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $n$ , la derivata di $1$ rispetto a $n$ è $0$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n + 1 - n (1 + 0)}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n + 1 - n \cdot 1}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n + 1 - n}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.13

Sottrai $n$ da $n$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{0 + 1}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.14

Somma $0$ e $1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.15

Moltiplica $\frac{n + 1}{n}$ per $\frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{n {(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.16

Elimina il fattore comune di $n + 1$ e ${(n + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.16.1

Moltiplica per $1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n + 1) \cdot 1}{n {(n + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.16.2.1

Scomponi $n + 1$ da $n {(n + 1)}^{2}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n + 1) \cdot 1}{(n + 1) n (n + 1)}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n + 1) \cdot 1}{(n + 1) n (n + 1)}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n (n + 1)}}{\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]}}$

Passaggio 4.3.17

Riscrivi $\frac{1}{n}$ come $n^{- 1}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n (n + 1)}}{\frac{d}{d n} [n^{- 1}]}}$

Passaggio 4.3.18

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è $n \cdot n^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n (n + 1)}}{- n^{- 2}}}$

Passaggio 4.3.19

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n (n + 1)}}{- \frac{1}{n^{2}}}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n (n + 1)} \cdot - 1 n^{2}}$

Passaggio 4.5

$\frac{1}{n (n + 1)}$ e $n^{2}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} - \frac{n^{2}}{n (n + 1)}}$

Passaggio 4.6

Elimina il fattore comune di $n^{2}$ e $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Scomponi $n$ da $n^{2}$ .

$e^{lim_{n \to \infty} - \frac{n \cdot n}{n (n + 1)}}$

Passaggio 4.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{n \to \infty} - \frac{n \cdot n}{n (n + 1)}}$

Passaggio 4.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{n \to \infty} - \frac{n}{n + 1}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $n$ .

$e^{- lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1}}$

Passaggio 6

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $n$ nel denominatore, che è $n$ .

$e^{- lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}}}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune di $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{- lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}}}$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{- lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}}}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{- lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}}}$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{- lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}}$

Passaggio 7.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $n$ tende a $\infty$ .

$e^{- \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n}}}$

Passaggio 7.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $n$ tende a $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n}}}$

Passaggio 7.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $n$ tende a $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 7.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $n$ tende a $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}}$

Passaggio 8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{n}$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{1}{1 + 0}}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Somma $1$ e $0$ .

$e^{- \frac{1}{1}}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{- \frac{1}{1}}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 9.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{- 1}$

Passaggio 10

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{e}$

Forma decimale:

$0.36787944 \dots$