Calcolo Esempi

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Passaggio 1

Data $y = f (x)$ , trova il logaritmo naturale di entrambi i lati $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$

Passaggio 2

Espandi $\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$ spostando $\ln (x)$ fuori dal logaritmo.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\ln (x))$

Passaggio 3

Differenzia l'espressione usando la regola della catena, tenendo a mente che $y$ è una funzione di $x$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $\ln (y)$ sul lato sinistro usando la regola della catena.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\ln (x))$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

Differenzia $\ln (x) \ln (\ln (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.2.4.1

$\frac{1}{\ln (x)}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.4.2

Elimina il fattore comune di $\ln (x)$ .

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Passaggio 3.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.4.3

Moltiplica $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ per $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.5

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2.6

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{1}{x}$

Passaggio 3.2.7

$\ln (\ln (x))$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

Passaggio 4

Isola $y'$ e sostituisci la funzione originale a $y$ nel lato destro.

$y' = (\frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x}) {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Passaggio 5

Semplifica il lato di destra.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{1}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\ln (x))}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{x}$ e ${\ln (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 5.3

$\frac{\ln (\ln (x))}{x}$ e ${\ln (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x)) {\ln (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Passaggio 5.4

Riordina i fattori in $\frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x)) {\ln (x)}^{\ln (x)}}{x}$ .

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)} \ln (\ln (x))}{x}$