Calcolo Esempi

$h (x) = (x^{2} - 2) (x^{3} - 3 x)$ , $(- 2, - 4)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 2$ e $y = - 4$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} - 2$ e $g (x) = x^{3} - 3 x$ .

$(x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x] + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$(x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3 \cdot 1) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Passaggio 1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 1.2.8

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) (2 x + 0)$

Passaggio 1.2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) (2 x)$

Passaggio 1.2.9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3} - 3 x$ .

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + 2 \cdot (x^{3} - 3 x) x$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (2 x^{3} + 2 (- 3 x)) x$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 2) (3 x^{2}) + (x^{2} - 2) \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (3 x^{2}) - 2 (3 x^{2}) + (x^{2} - 2) \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (3 x^{2}) - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 2} \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.6.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$x^{4} \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$3 \cdot x^{4} - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.6.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$3 x^{4} - 6 x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.6.4

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$3 x^{4} - 6 x^{2} - 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.6.5

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$3 x^{4} - 6 x^{2} - 3 x^{2} + 6 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.6.6

Sottrai $3 x^{2}$ da $- 6 x^{2}$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.6.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 (x^{1} x^{3}) + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.6.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{1 + 3} + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.6.9

Somma $1$ e $3$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} + 2 (- 3 x) x$

Passaggio 1.3.6.10

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 (x^{1} x)$

Passaggio 1.3.6.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 (x^{1} x^{1})$

Passaggio 1.3.6.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 x^{1 + 1}$

Passaggio 1.3.6.14

Somma $1$ e $1$ .

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.15

Somma $3 x^{4}$ e $2 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 9 x^{2} + 6 - 6 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.16

Sottrai $6 x^{2}$ da $- 9 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 6$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = - 2$ .

$5 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$5 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $5$ per $16$ .

$80 - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

Passaggio 1.5.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$80 - 15 \cdot 4 + 6$

Passaggio 1.5.1.4

Moltiplica $- 15$ per $4$ .

$80 - 60 + 6$

Passaggio 1.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Sottrai $60$ da $80$ .

$20 + 6$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $20$ e $6$ .

$26$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $26$ e un punto dato $(- 2, - 4)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 4) = 26 \cdot (x - (- 2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 4 = 26 \cdot (x + 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $26 \cdot (x + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 4 = 0 + 0 + 26 \cdot (x + 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 4 = 26 \cdot (x + 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 4 = 26 x + 26 \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $26$ per $2$ .

$y + 4 = 26 x + 52$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = 26 x + 52 - 4$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $4$ da $52$ .

$y = 26 x + 48$

Passaggio 3