Calcolo Esempi

$\int \frac{x + 4}{x^{3} + 3 x^{2} + 2 x} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} + 3 x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x + 4}{x \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 2 x}$

Passaggio 1.1.1.1.2

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x + 4}{x \cdot x^{2} + x (3 x) + 2 x}$

Passaggio 1.1.1.1.3

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\frac{x + 4}{x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ .

$\frac{x + 4}{x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x + 4}{x (x^{2} + 3 x + 2)}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Scomponi $x^{2} + 3 x + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $3$ .

$1, 2$

Passaggio 1.1.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{x + 4}{x ((x + 1) (x + 2))}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{x + 4}{x (x + 1) (x + 2)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 4) (x (x + 1) (x + 2))}{x (x + 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 4) (x (x + 1) (x + 2))}{x (x + 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 4) ((x + 1) (x + 2))}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 4) ((x + 1) (x + 2))}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.7

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.7.2

Dividi $x + 4$ per $1$ .

$x + 4 = \frac{A (x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$x + 4 = \frac{A (x (x + 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.1.2

Dividi $A ((x + 1) (x + 2))$ per $1$ .

$x + 4 = A ((x + 1) (x + 2)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.2

Espandi $(x + 1) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x + 4 = A (x (x + 2) + 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + 4 = A (x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x + 4 = A (x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x + 4 = A (x^{2} + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x + 4 = A (x^{2} + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + 4 = A (x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.3.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x + 4 = A (x^{2} + 2 x + x + 2) + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.3.2

Somma $2 x$ e $x$ .

$x + 4 = A (x^{2} + 3 x + 2) + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.4

Applica la proprietà distributiva.

$x + 4 = A x^{2} + A (3 x) + A \cdot 2 + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.6

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.6.1

Elimina il fattore comune.

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + 2 A + \frac{B (x (x + 1) (x + 2))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.6.2

Dividi $(B) (x (x + 2))$ per $1$ .

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + 2 A + (B) (x (x + 2)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.7

Applica la proprietà distributiva.

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.8

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.9

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.10

Applica la proprietà distributiva.

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.11

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.12

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.12.1

Elimina il fattore comune.

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x (x + 1) (x + 2))}{x + 2}$

Passaggio 1.1.8.12.2

Dividi $(C) (x (x + 1))$ per $1$ .

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x (x + 1))$

Passaggio 1.1.8.13

Applica la proprietà distributiva.

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Passaggio 1.1.8.14

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Passaggio 1.1.8.15

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} + x)$

Passaggio 1.1.8.16

Applica la proprietà distributiva.

$x + 4 = A x^{2} + 3 A x + 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} + C x$

Passaggio 1.1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Sposta $A$ .

$x + 4 = A x^{2} + 3 x A + 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} + C x$

Passaggio 1.1.9.2

Riordina $B$ e $x^{2}$ .

$x + 4 = A x^{2} + 3 x A + 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} + C x$

Passaggio 1.1.9.3

Sposta $B$ .

$x + 4 = A x^{2} + 3 x A + 2 A + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} + C x$

Passaggio 1.1.9.4

Sposta $2 A$ .

$x + 4 = A x^{2} + 3 x A + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} + C x + 2 A$

Passaggio 1.1.9.5

Sposta $2 x B$ .

$x + 4 = A x^{2} + 3 x A + B x^{2} + C x^{2} + 2 x B + C x + 2 A$

Passaggio 1.1.9.6

Sposta $3 x A$ .

$x + 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} + 3 x A + 2 x B + C x + 2 A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B + C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 3 A + 2 B + C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$4 = 2 A$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B + C$

$1 = 3 A + 2 B + C$

$4 = 2 A$

$0 = A + B + C$

$1 = 3 A + 2 B + C$

$4 = 2 A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $4 = 2 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $2 A = 4$ .

$2 A = 4$

$0 = A + B + C$

$1 = 3 A + 2 B + C$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 4$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{4}{2}$

$0 = A + B + C$

$1 = 3 A + 2 B + C$

Passaggio 1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 A}{2} = \frac{4}{2}$

$0 = A + B + C$

$1 = 3 A + 2 B + C$

Passaggio 1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{4}{2}$

$0 = A + B + C$

$1 = 3 A + 2 B + C$

$A = \frac{4}{2}$

$0 = A + B + C$

$1 = 3 A + 2 B + C$

$A = \frac{4}{2}$

$0 = A + B + C$

$1 = 3 A + 2 B + C$

Passaggio 1.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.3.1

Dividi $4$ per $2$ .

$A = 2$

$0 = A + B + C$

$1 = 3 A + 2 B + C$

$A = 2$

$0 = A + B + C$

$1 = 3 A + 2 B + C$

$A = 2$

$0 = A + B + C$

$1 = 3 A + 2 B + C$

$A = 2$

$0 = A + B + C$

$1 = 3 A + 2 B + C$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B + C$ con $2$ .

$0 = (2) + B + C$

$A = 2$

$1 = 3 A + 2 B + C$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 2 + B + C$

$A = 2$

$1 = 3 A + 2 B + C$

$0 = 2 + B + C$

$A = 2$

$1 = 3 A + 2 B + C$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = 3 A + 2 B + C$ con $2$ .

$1 = 3 (2) + 2 B + C$

$0 = 2 + B + C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$1 = 6 + 2 B + C$

$0 = 2 + B + C$

$A = 2$

$1 = 6 + 2 B + C$

$0 = 2 + B + C$

$A = 2$

$1 = 6 + 2 B + C$

$0 = 2 + B + C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $C$ in $1 = 6 + 2 B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $6 + 2 B + C = 1$ .

$6 + 2 B + C = 1$

$0 = 2 + B + C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 B + C = 1 - 6$

$0 = 2 + B + C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.3.2.2

Sottrai $2 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1 - 6 - 2 B$

$0 = 2 + B + C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.3.2.3

Sottrai $6$ da $1$ .

$C = - 5 - 2 B$

$0 = 2 + B + C$

$A = 2$

$C = - 5 - 2 B$

$0 = 2 + B + C$

$A = 2$

$C = - 5 - 2 B$

$0 = 2 + B + C$

$A = 2$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- 5 - 2 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $0 = 2 + B + C$ con $- 5 - 2 B$ .

$0 = 2 + B - 5 - 2 B$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica $0 = 2 + B - 5 - 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 2 + B - 5 - 2 B$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

$0 = 2 + B - 5 - 2 B$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

Passaggio 1.3.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.2.1

Semplifica $2 + B - 5 - 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.2.1.1

Sottrai $5$ da $2$ .

$0 = B - 3 - 2 B$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

Passaggio 1.3.4.2.2.1.2

Sottrai $2 B$ da $B$ .

$0 = - B - 3$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

$0 = - B - 3$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

$0 = - B - 3$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

$0 = - B - 3$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

$0 = - B - 3$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

Passaggio 1.3.5

Risolvi per $B$ in $0 = - B - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- B - 3 = 0$ .

$- B - 3 = 0$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

Passaggio 1.3.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- B = 3$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

Passaggio 1.3.5.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 3$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

Passaggio 1.3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{3}{- 1}$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

Passaggio 1.3.5.3.2.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{3}{- 1}$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

$B = \frac{3}{- 1}$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

Passaggio 1.3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.3.3.1

Dividi $3$ per $- 1$ .

$B = - 3$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

$B = - 3$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

$B = - 3$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

$B = - 3$

$C = - 5 - 2 B$

$A = 2$

Passaggio 1.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $C = - 5 - 2 B$ con $- 3$ .

$C = - 5 - 2 \cdot - 3$

$B = - 3$

$A = 2$

Passaggio 1.3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Semplifica $- 5 - 2 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$C = - 5 + 6$

$B = - 3$

$A = 2$

Passaggio 1.3.6.2.1.2

Somma $- 5$ e $6$ .

$C = 1$

$B = - 3$

$A = 2$

$C = 1$

$B = - 3$

$A = 2$

$C = 1$

$B = - 3$

$A = 2$

$C = 1$

$B = - 3$

$A = 2$

Passaggio 1.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$C = 1, B = - 3, A = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{2}{x} + \frac{- 3}{x + 1} + \frac{1}{x + 2}$

Passaggio 1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{2}{x} - \frac{3}{x + 1} + \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{2}{x} d x + \int - \frac{3}{x + 1} d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{x + 1} d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{3}{x + 1} d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{3}{x + 1} d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$2 (\ln (| x |) + C) - (3 \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 3 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 8

Sia $u_{1} = x + 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{1} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 3 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 3 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = x + 2$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = x + 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 10.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 10.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 10.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 3 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 3 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

$2 \ln (| x |) - 3 \ln (| u_{1} |) + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$2 \ln (| x |) - 3 \ln (| x + 1 |) + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 2$ .

$2 \ln (| x |) - 3 \ln (| x + 1 |) + \ln (| x + 2 |) + C$