Calcolo Esempi

$y = {(x^{2} + x + 1)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + x + 1$ .

$2 (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (2 x + 1 + 0)$

Passaggio 1.2.5

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$2 (x^{2} + x + 1) (2 x + 1)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) (2 x + 1)$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(2 x^{2} + 2 x + 2) (2 x + 1)$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di $(2 x^{2} + 2 x + 2) (2 x + 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x^{2} + 2 x + 2)$

Passaggio 1.3.4

Espandi $(2 x + 1) (2 x^{2} + 2 x + 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.5.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.5.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 1.3.5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.5.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.5.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.5.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.5.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.5.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.5.5.1

Sposta $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.5.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.5.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.5.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 1 (2 x^{2}) + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.5.8

Moltiplica $2 x^{2}$ per $1$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.5.9

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} + 2 x + 1 \cdot 2$

Passaggio 1.3.5.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} + 2 x + 2$

Passaggio 1.3.6

Somma $4 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 2 x + 2$

Passaggio 1.3.7

Somma $4 x$ e $2 x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 12 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{2} + 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$12 x^{2} + 12 x + 6 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{2} + 12 x + 6 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $12 x^{2} + 12 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x + 6$