Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}} - \frac{3}{x^{5}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}} - \frac{3}{x^{5}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}} - \frac{3}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.6.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.8

$\frac{4}{5}$ e $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.9

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{2 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{10 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.12

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (2)}{10 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.13.1

Scomponi $2$ da $10 x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{2 (2)}{2 (5 x^{\frac{1}{5}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (5 x^{\frac{1}{5}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{5}}$ come ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{5}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $x^{- 10}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.7.1

Sposta $x^{4}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Passaggio 3.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- 5 x^{4 - 10})$

Passaggio 3.3.7.3

Sottrai $10$ da $4$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- 5 x^{- 6})$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $- 5$ per $- 3$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 15 x^{- 6}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 15 \frac{1}{x^{6}}$

Passaggio 3.4.2

$15$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{15}{x^{6}}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$\frac{15}{x^{6}} + \frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{15}{x^{6}} + \frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{x^{6}} + \frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}}$