Calcolo Esempi

$h (x) = e^{x^{2} - 4}$ on $- 2$ , $2$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Passaggio 1.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$e^{x^{2} - 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$e^{x^{2} - 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x^{2} - 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x^{2} - 4} (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.1.2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$e^{x^{2} - 4} (2 x)$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.1.1.3.1

Riordina i fattori di $e^{x^{2} - 4} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} - 4} x$

Passaggio 1.1.1.3.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2} - 4} x$ .

$f' (x) = 2 x e^{x^{2} - 4}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $h (x)$ rispetto a $x$ è $2 x e^{x^{2} - 4}$ .

$2 x e^{x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x e^{x^{2} - 4} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x e^{x^{2} - 4} = 0$

Passaggio 1.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{x^{2} - 4} = 0$

Passaggio 1.2.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $e^{x^{2} - 4}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Imposta $e^{x^{2} - 4}$ uguale a $0$ .

$e^{x^{2} - 4} = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $e^{x^{2} - 4} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x^{2} - 4}) = \ln (0)$

Passaggio 1.2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x^{2} - 4} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 1.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x e^{x^{2} - 4} = 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $e^{x^{2} - 4}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$e^{{(0)}^{2} - 4}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e^{0 - 4}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$e^{- 4}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{4}}$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, \frac{1}{e^{4}})$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$e^{{(- 2)}^{2} - 4}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$e^{4 - 4}$

Passaggio 2.1.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$e^{0}$

Passaggio 2.1.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 2$ .

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Passaggio 2.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$e^{{(2)}^{2} - 4}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e^{4 - 4}$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$e^{0}$

Passaggio 2.2.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 2, 1), (2, 1)$

Passaggio 3

Confronta i valori $h (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $h (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $h (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(- 2, 1), (2, 1)$

Minimo assoluto: $(0, \frac{1}{e^{4}})$

Passaggio 4