Calcolo Esempi

$y = \sqrt[5]{\frac{5 x}{3 x - 2}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{\frac{5 x}{3 x - 2}}$ come ${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5}}$ .

$y = {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e $g (x) = \frac{5 x}{3 x - 2}$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{5 x}{3 x - 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{5 x}{3 x - 2}$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 4.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Passaggio 4.6.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x}{3 x - 2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} (5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}])$

Passaggio 4.6.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.6.3.1

$5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

Passaggio 4.6.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 4.6.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

Passaggio 4.6.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

Passaggio 4.6.3.3

Moltiplica ${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}}$ per $1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Differenzia.

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Passaggio 4.8.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{(3 x - 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $3 x - 2$ per $1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8.8

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 4.8.8.1

Somma $3$ e $0$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8.8.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - 3 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8.8.3

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{0 - 2}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8.8.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.8.8.4.1

Sottrai $2$ da $0$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{- 2}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8.8.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Passaggio 4.9

Semplifica.

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Passaggio 4.9.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

${(\frac{3 x - 2}{5 x})}^{\frac{4}{5}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Passaggio 4.9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3 x - 2}{5 x}$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{{(5 x)}^{\frac{4}{5}}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Passaggio 4.9.3

Applica la regola del prodotto a $5 x$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Passaggio 4.9.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.9.4.1

Moltiplica $\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}}}$ per $\frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}} \cdot 2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.9.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.9.4.3

Sposta ${(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}}}$

Passaggio 4.9.4.4

Moltiplica ${(3 x - 2)}^{2}$ per ${(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.9.4.4.1

Sposta ${(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} ({(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2})}$

Passaggio 4.9.4.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5} + 2}}$

Passaggio 4.9.4.4.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}$

Passaggio 4.9.4.4.4

$2$ e $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}$

Passaggio 4.9.4.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{- 4 + 2 \cdot 5}{5}}}$

Passaggio 4.9.4.4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.9.4.4.6.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{- 4 + 10}{5}}}$

Passaggio 4.9.4.4.6.2

Somma $- 4$ e $10$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{6}{5}}}$