Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} + m x + 1}{x + m}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + m x + 1$ e $g (x) = x + m$ .

$\frac{(x + m) \frac{d}{d x} [x^{2} + m x + 1] - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + m x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [m x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + m) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [m x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x + m) (2 x + \frac{d}{d x} [m x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $m$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $m x$ rispetto a $x$ è $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $m$ per $1$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m + 0) - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $2 x + m$ e $0$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m) - (x^{2} + m x + 1) \frac{d}{d x} [x + m]}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + m$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [m]$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m) - (x^{2} + m x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [m])}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m) - (x^{2} + m x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [m])}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Poiché $m$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $m$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m) - (x^{2} + m x + 1) (1 + 0)}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m) - (x^{2} + m x + 1) \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x + m) (2 x + m) - (x^{2} + m x + 1)}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + m) (2 x + m) - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Espandi $(x + m) (2 x + m)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x + m) + m (2 x + m) - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x m + m (2 x + m) - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x m + m (2 x) + m \cdot m - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x \cdot x + x m + m (2 x) + m \cdot m - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x m + m (2 x) + m \cdot m - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x m + m (2 x) + m \cdot m - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{2} + x m + 2 m x + m \cdot m - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.4

Moltiplica $m$ per $m$ .

$\frac{2 x^{2} + x m + 2 m x + m^{2} - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Somma $x m$ e $2 m x$ .

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Passaggio 3.2.1.2.2.1

Riordina $x$ e $m$ .

$\frac{2 x^{2} + m x + 2 m x + m^{2} - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2.2

Somma $m x$ e $2 m x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 m x + m^{2} - x^{2} - (m x) - 1 \cdot 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 m x + m^{2} - x^{2} - m x - 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 3 m x + m^{2} - m x - 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $m x$ da $3 m x$ .

$\frac{x^{2} + m^{2} + 2 m x - 1}{{(x + m)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$\frac{m^{2} + x^{2} + 2 m x - 1}{{(m + x)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.4.1.1

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{m^{2} + 2 m x + x^{2} - 1}{{(m + x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 m x = 2 \cdot m \cdot x$

Passaggio 3.4.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{m^{2} + 2 \cdot m \cdot x + x^{2} - 1}{{(m + x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = m$ e $b = x$ .

$\frac{{(m + x)}^{2} - 1}{{(m + x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{{(m + x)}^{2} - 1^{2}}{{(m + x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = m + x$ e $b = 1$ .

$\frac{(m + x + 1) (m + x - 1)}{{(m + x)}^{2}}$