Calcolo Esempi

$\frac{x}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{2}]}{{({(1 - x)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 - x)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{2}]}{{(1 - x)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{2}]}{{(1 - x)}^{4}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(1 - x)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{2}]}{{(1 - x)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica ${(1 - x)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{{(1 - x)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{2}]}{{(1 - x)}^{4}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x$ .

$\frac{{(1 - x)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 - x])}{{(1 - x)}^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(1 - x)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [1 - x])}{{(1 - x)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$\frac{{(1 - x)}^{2} - x (2 (1 - x) \frac{d}{d x} [1 - x])}{{(1 - x)}^{4}}$

Passaggio 4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(1 - x)}^{2} - 2 x ((1 - x) \frac{d}{d x} [1 - x])}{{(1 - x)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Scomponi $1 - x$ da ${(1 - x)}^{2} - 2 x ((1 - x) \frac{d}{d x} [1 - x])$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $1 - x$ da ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{(1 - x) (1 - x) - 2 x ((1 - x) \frac{d}{d x} [1 - x])}{{(1 - x)}^{4}}$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $1 - x$ da $- 2 x ((1 - x) \frac{d}{d x} [1 - x])$ .

$\frac{(1 - x) (1 - x) + (1 - x) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 - x]))}{{(1 - x)}^{4}}$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $1 - x$ da $(1 - x) (1 - x) + (1 - x) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 - x]))$ .

$\frac{(1 - x) (1 - x - 2 x (\frac{d}{d x} [1 - x]))}{{(1 - x)}^{4}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Scomponi $1 - x$ da ${(1 - x)}^{4}$ .

$\frac{(1 - x) (1 - x - 2 x (\frac{d}{d x} [1 - x]))}{(1 - x) {(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 - x) (1 - x - 2 x (\frac{d}{d x} [1 - x]))}{(1 - x) {(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - x - 2 x (\frac{d}{d x} [1 - x])}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - 2 x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1 - x - 2 x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - 2 x \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - 2 x (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 10

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{1 - x + 2 x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1 - x + 2 x \cdot 1}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 12

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1 - x + 2 x}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 12.2

Somma $- x$ e $2 x$ .

$\frac{1 + x}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 12.3

Riordina i termini.

$\frac{x + 1}{{(- x + 1)}^{3}}$