Calcolo Esempi

$y = x^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Data $y = f (x)$ , trova il logaritmo naturale di entrambi i lati $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 2

Espandi il lato di destra.

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Passaggio 2.1

Espandi $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ spostando $\frac{1}{x}$ fuori dal logaritmo.

$\ln (y) = \frac{1}{x} \ln (x)$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\ln (y) = \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3

Differenzia l'espressione usando la regola della catena, tenendo a mente che $y$ è una funzione di $x$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $\ln (y)$ sul lato sinistro usando la regola della catena.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

Differenzia $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 3.2.4.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y} = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 4

Isola $y'$ e sostituisci la funzione originale a $y$ nel lato destro.

$y' = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} x^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 5

Semplifica il lato di destra.

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Passaggio 5.1

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ e $x^{\frac{1}{x}}$ .

$y' = \frac{(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{x}}$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x}}$ .

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}}{1}$

Passaggio 5.2.2.4

Dividi $(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}$ per $1$ .

$y' = (1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$y' = 1 x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$

Passaggio 5.4

Moltiplica $x^{\frac{1}{x} - 2}$ per $1$ .

$y' = x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$

Passaggio 5.5

Riordina i fattori in $x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$ .

$y' = x^{\frac{1}{x} - 2} - x^{\frac{1}{x} - 2} \ln (x)$