Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\infty} x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 3.2

$x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 4

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6

Sia $u = - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 6.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 6.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 t$

Passaggio 6.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

Passaggio 6.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 7.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u))$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

Passaggio 11

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

Passaggio 12

$e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ e $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

Passaggio 13

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola $- \frac{x e^{- 2 x}}{2}$ per $t$ e per $0$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

Passaggio 13.2

Calcola $e^{u}$ per $- 2 t$ e per $0$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Passaggio 13.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Passaggio 13.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Passaggio 13.3.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Passaggio 13.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.4.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Passaggio 13.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Passaggio 13.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Passaggio 13.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Passaggio 13.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + 0 - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Passaggio 13.3.5

Somma $- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ e $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Passaggio 13.3.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{4}$

Passaggio 13.3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Passaggio 13.3.8

Per scrivere $- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Passaggio 13.3.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.9.1

Moltiplica $\frac{t e^{- 2 t}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Passaggio 13.3.9.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{4} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Passaggio 13.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{t \to \infty} \frac{- t e^{- 2 t} \cdot 2 - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Passaggio 13.3.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 t e^{- 2 t} - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 t e^{- 2 t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Passaggio 14.2

Scomponi $- 1$ da $- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Passaggio 14.3

Riscrivi $- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ come $- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Passaggio 14.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

Passaggio 15

Calcola il limite.

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Passaggio 15.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

Passaggio 15.2

Sposta il termine $\frac{1}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1$

Passaggio 15.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.5

Riscrivi $t e^{- 2 t}$ come $\frac{t}{e^{2 t}}$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.6

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$- \frac{1}{4} (2 \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.6.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.6.1.3

Poiché l'esponente $2 t$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{2 t}$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.6.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.6.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]}$

Passaggio 15.6.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 15.6.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.6.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.6.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 2 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.6.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.6.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.6.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \frac{d}{d t} [t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.6.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \cdot 1} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.6.3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.6.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 t}$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.7

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{2 t}}$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.9

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.10

Poiché l'esponente $- 2 t$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{- 2 t}$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 15.11

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.11.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 15.11.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.11.2.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 15.11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1)$

Passaggio 15.11.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

Passaggio 15.11.2.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

Passaggio 15.11.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.11.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Passaggio 15.11.2.4.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.25$