Calcolo Esempi

$x = \frac{1}{3} \sqrt{y} (y - 3)$ , $1 \leq y \leq 9$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Passaggio 2

Rimuovi le parentesi.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Passaggio 3

Semplifica $\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y + \sqrt{y} \cdot - 3)$

Passaggio 3.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $\sqrt{y}$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y - 3 \cdot \sqrt{y})$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{1}{3} (\sqrt{y} y) + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{1}{3} (\sqrt{y} y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

$\sqrt{y}$ e $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{\sqrt{y}}{3} y + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Passaggio 3.4.2

$\frac{\sqrt{y}}{3}$ e $y$ .

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $3$ da $- 3 \sqrt{y}$ .

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$

Passaggio 4

Verifica se $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per determinare se la funzione è continua in $[1, 9]$ o no, trova il dominio di $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{y}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$y \geq 0$

Passaggio 4.1.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $y$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y \geq 0}$

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y \geq 0}$

Passaggio 4.2

$f (y)$ è continua su $[1, 9]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5

Verifica se $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ è differenziabile.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.2

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.2.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.8.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.9

$\frac{3}{2}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.10

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.11

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.12

Scomponi $3$ da $3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.13.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 5.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 5.1.1.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 5.1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 5.1.1.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 5.1.1.3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 5.1.1.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 5.1.1.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 5.1.1.3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 5.1.1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 5.1.1.3.9

$\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 5.1.1.3.10

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.1.2

La derivata prima di $f (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2

Definisci se la derivata è continua su $[1, 9]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Per determinare se la funzione è continua in $[1, 9]$ o no, trova il dominio di $f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

Passaggio 5.2.1.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

Passaggio 5.2.1.1.4

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y}}$

Passaggio 5.2.1.2

Imposta il radicando in $\sqrt{y}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$y \geq 0$

Passaggio 5.2.1.3

Imposta il denominatore in $\frac{1}{2 \sqrt{y}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{y} = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 5.2.1.4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 5.2.1.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.2.2.1

Semplifica ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 5.2.1.4.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 5.2.1.4.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 5.2.1.4.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 5.2.1.4.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 y^{1} = 0^{2}$

Passaggio 5.2.1.4.2.2.1.4

Semplifica.

$4 y = 0^{2}$

Passaggio 5.2.1.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 y = 0$

Passaggio 5.2.1.4.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = 0$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.2.1.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.2.1.4.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.2.1.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$y = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $y$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y > 0}$

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y > 0}$

Passaggio 5.2.2

$f' (y)$ è continua su $[1, 9]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 5.3

La funzione è differenziabile su $[1, 9]$ perché la derivata è continua su $[1, 9]$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 6

Affinché la lunghezza dell'arco sia garantita, la funzione e la sua derivata devono essere entrambe continue sull'intervallo chiuso $[1, 9]$ .

La funzione e la sua derivata sono continue sull'intervallo chiuso $[1, 9]$ .

Passaggio 7

Trova la derivata di $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.2.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.8.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.9

$\frac{3}{2}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.10

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.11

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.12

Scomponi $3$ da $3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.13.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Passaggio 7.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 7.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 7.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 7.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 7.3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 7.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 7.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 7.3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 7.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 7.3.9

$\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 7.3.10

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8

Per calcolare la lunghezza dell'arco di una funzione, usa la formula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ .

$\int_{1}^{9} \sqrt{1 + {(\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d y$

Passaggio 9