Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x^{2}}$ come ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{1}}$

Passaggio 4

Semplifica.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Passaggio 5.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Passaggio 11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Passaggio 11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Passaggio 11.3

Sposta ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Passaggio 11.4

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Passaggio 12

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Passaggio 13

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Passaggio 14

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Passaggio 15

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Passaggio 16

Moltiplica.

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Passaggio 16.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 1 \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Passaggio 16.2

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Passaggio 17

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{4 - x^{2}}$

Passaggio 18

Riduci le frazioni.

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Passaggio 18.1

$2$ e $\frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{4 - x^{2}}$

Passaggio 18.2

$\frac{2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{2} x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 19

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 20

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 21

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{3}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 22

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{3}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 23

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{3}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 24

Riordina $4$ e $- x^{2}$ .

$\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 25

Per scrivere $2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 26

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 27

Moltiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 27.1

Sposta ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 27.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 27.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 27.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 27.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{1} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 28

Semplifica $2 x {(- x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Passaggio 29

Riscrivi $\frac{\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$ come un prodotto.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 - x^{2}}$

Passaggio 30

Moltiplica $\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{4 - x^{2}}$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 - x^{2})}$

Passaggio 31

Riordina i termini.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Passaggio 32

Moltiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ per $- x^{2} + 4$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 32.1

Moltiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ per $- x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.1.1

Eleva $- x^{2} + 4$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{1}}$

Passaggio 32.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 32.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 32.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 32.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33

Semplifica.

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Passaggio 33.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 33.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 33.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 33.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.2.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 33.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.2.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.2.1.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 8 x + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.2.2

Somma $- 2 x^{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- x^{3} + 8 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.3

Scomponi $x$ da $- x^{3} + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 33.3.1

Scomponi $x$ da $- x^{3}$ .

$\frac{x (- x^{2}) + 8 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.3.2

Scomponi $x$ da $8 x$ .

$\frac{x (- x^{2}) + x \cdot 8}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.3.3

Scomponi $x$ da $x (- x^{2}) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (- x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.4

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x (- (x^{2}) + 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.5

Riscrivi $8$ come $- 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x^{2}) - 1 (- 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x^{2} - 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.7

Riscrivi $- (x^{2} - 8)$ come $- 1 (x^{2} - 8)$ .

$\frac{x (- 1 (x^{2} - 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 33.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x (x^{2} - 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$