Calcolo Esempi

$- \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = - 1$ e $g (y) = \frac{2 x + y}{x + 2 y}$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{2 x + y}{x + 2 y}] + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = 2 x + y$ e $g (y) = x + 2 y$ .

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{(x + 2 y) (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 3.2

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- \frac{(x + 2 y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [y] - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{(x + 2 y) \cdot 1 - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $x + 2 y$ per $1$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 3.7

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (0 + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 3.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) \frac{d}{d y} [2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 3.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (2 \frac{d}{d y} [y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 3.10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y) \cdot 1}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 3.12

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 3.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \cdot 0$

Passaggio 3.14

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.14.1

Moltiplica $\frac{2 x + y}{x + 2 y}$ per $0$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + 0$

Passaggio 3.14.2

Somma $- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x) - 2 y}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Combina i termini opposti in $x + 2 y - 2 (2 x) - 2 y$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Sottrai $2 y$ da $2 y$ .

$- \frac{x - 2 (2 x) + 0}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $x - 2 (2 x)$ e $0$ .

$- \frac{x - 2 (2 x)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- \frac{x - 4 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $4 x$ da $x$ .

$- \frac{- 3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $\frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$ per $1$ .

$\frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$