Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (x)}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.5.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.10

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.12

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13

Semplifica.

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Passaggio 1.3.13.1

Riordina $- \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.3

Espandi $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.3.13.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.4

Combina i termini opposti in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Passaggio 1.3.13.4.1

Riordina i fattori nei termini di $\cos (x) (- \sin (x))$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.4.2

Somma $- \cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.4.3

Somma $\cos (x) \cos (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.13.5.1

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 1.3.13.5.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.5.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.5.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.5.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.5.3

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 1.3.13.5.3.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.5.3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.5.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.5.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.13.6

Applica l'identità a doppio angolo per il coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $\cos (2 x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\cos (2 \cdot 0)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\cos (0)$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$1$