Calcolo Esempi

$(5 x^{2} + 3) (2 x - 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 5 x^{2} + 3$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

$(5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(5 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$(5 x^{2} + 3) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $5 x^{2} + 3$ .

$2 \cdot (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.8

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $2$ per $5$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x + 0)$

Passaggio 1.2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.12.1

Somma $10 x$ e $0$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x)$

Passaggio 1.2.12.2

Sposta $10$ alla sinistra di $2 x - 1$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + 10 \cdot (2 x - 1) x$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + 10 (2 x - 1) x$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + (10 (2 x) + 10 \cdot - 1) x$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.3.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.4.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$10 x^{2} + 2 \cdot 3 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.3.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$10 x^{2} + 6 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $2$ per $10$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x \cdot x + 10 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.3.4.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 (x^{1} x) + 10 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.3.4.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 (x^{1} x^{1}) + 10 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.3.4.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{1 + 1} + 10 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.3.4.7

Somma $1$ e $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{2} + 10 \cdot - 1 x$

Passaggio 1.3.4.8

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{2} - 10 x$

Passaggio 1.3.4.9

Somma $10 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$30 x^{2} + 6 - 10 x$

Passaggio 1.3.5

Riordina i termini.

$f' (x) = 30 x^{2} - 10 x + 6$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $30 x^{2} - 10 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $30 x^{2}$ rispetto a $x$ è $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$30 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $30$ .

$60 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$60 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$60 x - 10 + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$60 x - 10 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $60 x - 10$ e $0$ .

$f'' (x) = 60 x - 10$