Calcolo Esempi

$\int \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $- d u = - \sec^{2} (x) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\int 1 (1 - u^{2}) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $1 - u^{2}$ per $1$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$u + C - \int u^{2} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$\tan (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$