Calcolo Esempi

$\ln (x^{2} e^{2 x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} e^{2 x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (2 e^{2 x})) + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x^{2} e^{2 x}}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} e^{2 x}} (2 e^{2 x}) + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Passaggio 5.2.2

$2$ e $\frac{x^{2}}{x^{2} e^{2 x}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{x^{2} e^{2 x}} e^{2 x} + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Passaggio 5.2.3

$\frac{2 x^{2}}{x^{2} e^{2 x}}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{2 x^{2} e^{2 x}}{x^{2} e^{2 x}} + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2} e^{2 x}}{x^{2} e^{2 x}} + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Passaggio 5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Passaggio 5.2.5.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2 + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Passaggio 5.2.6

$e^{2 x}$ e $\frac{1}{x^{2} e^{2 x}}$ .

$2 + \frac{e^{2 x}}{x^{2} e^{2 x}} (2 x)$

Passaggio 5.2.7

$2$ e $\frac{e^{2 x}}{x^{2} e^{2 x}}$ .

$2 + \frac{2 e^{2 x}}{x^{2} e^{2 x}} x$

Passaggio 5.2.8

$\frac{2 e^{2 x}}{x^{2} e^{2 x}}$ e $x$ .

$2 + \frac{2 e^{2 x} x}{x^{2} e^{2 x}}$

Passaggio 5.2.9

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

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Passaggio 5.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$2 + \frac{2 e^{2 x} x}{x^{2} e^{2 x}}$

Passaggio 5.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$2 + \frac{2 x}{x^{2}}$

Passaggio 5.2.10

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 5.2.10.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$2 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Passaggio 5.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.10.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$2 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Passaggio 5.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Passaggio 5.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 + \frac{2}{x}$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$\frac{2}{x} + 2$