Calcolo Esempi

$y^{3} = \frac{x - y}{x + y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{3}) = \frac{d}{d x} (\frac{x - y}{x + y})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - y$ e $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + y) (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Espandi $(x + y) (1 - y')$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (1 - y') + y (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x (- y') + y (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x (- y') + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x + x (- y') + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x - x y' + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.1.2.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{x - x y' + y + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.1.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.1.3

Moltiplica $- - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x + 1 y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.1.3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x + y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.1.4

Espandi $(- x + y) (1 + y')$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x (1 + y') + y (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x \cdot 1 - x y' + y (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x \cdot 1 - x y' + y \cdot 1 + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' - x - x y' + y \cdot 1 + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.1.5.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' - x - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.2

Combina i termini opposti in $x - x y' + y - y y' - x - x y' + y + y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{- x y' + y - y y' + 0 - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.2.2

Somma $- x y' + y - y y'$ e $0$ .

$\frac{- x y' + y - y y' - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.2.3

Somma $- y y'$ e $y y'$ .

$\frac{- x y' + y - x y' + y + 0}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.2.4

Somma $- x y' + y - x y' + y$ e $0$ .

$\frac{- x y' + y - x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.3

Sottrai $x y'$ da $- x y'$ .

$\frac{- 2 x y' + y + y}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2.4

Somma $y$ e $y$ .

$\frac{- 2 x y' + 2 y}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.3

Scomponi $2$ da $- 2 x y' + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x y'$ .

$\frac{2 (- x y') + 2 y}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.3.2

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$\frac{2 (- x y') + 2 (y)}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- x y') + 2 (y)$ .

$\frac{2 (- x y' + y)}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.4

Scomponi $- 1$ da $- x y'$ .

$\frac{2 (- (x y') + y)}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.5

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$\frac{2 (- (x y') - 1 (- y))}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.6

Scomponi $- 1$ da $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{2 (- (x y' - y))}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.7

Riscrivi $- (x y' - y)$ come $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x y' - y))}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 3.7.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 y^{2} y' = - \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per ${(x + y)}^{2}$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(x + y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$ nel numeratore.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = \frac{- 2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = \frac{- 2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 (x y' - y)$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 (x y') - 2 (- y)$

Passaggio 5.2.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 x y' + 2 y$

Passaggio 5.2.1.3.2

Sposta $x$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 y' x + 2 y$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta tutti i termini contenenti $y'$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Somma $2 y' x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Riscrivi ${(x + y)}^{2}$ come $(x + y) (x + y)$ .

$3 y^{2} y' ((x + y) (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.2

Espandi $(x + y) (x + y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} y' (x (x + y) + y (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.3.2

Somma $x y$ e $y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.3.2.1

Riordina $y$ e $x$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.3.2.2

Somma $x y$ e $x y$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{2} y' (2 x y) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.5.1

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.5.1.1

Sposta $y$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 (y \cdot y^{2}) y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.5.1.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.5.1.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 (y^{1} y^{2}) y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.5.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{1 + 2} y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.5.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.5.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.5.2.1

Sposta $y^{2}$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 (y^{2} y^{2}) y' + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{2 + 2} y' + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.5.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.1.2.6

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y' x^{2} + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y' x^{2}$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $y'$ da $6 y^{3} y' x$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $y'$ da $3 y^{4} y'$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + 2 y' x = 2 y$

Passaggio 5.3.2.4

Scomponi $y'$ da $2 y' x$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Passaggio 5.3.2.5

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x)$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Passaggio 5.3.2.6

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x) + y' (3 y^{4})$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Passaggio 5.3.2.7

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4}) + y' (2 x)$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$ .

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x)}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x)}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$