Calcolo Esempi

$\cos (x y) = 1 + \sin (y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (\cos (x y)) = \frac{d}{d y} (1 + \sin (y))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \cos (y)$ e $g (y) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- \sin (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$- \sin (x y) (x + y x')$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \sin (x y) x - \sin (x y) (y x')$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$- x \sin (x y) - y \sin (x y) x'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (y)$ rispetto a $y$ è $\cos (y)$ .

$0 + \cos (y)$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\cos (y)$ .

$\cos (y)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- x \sin (x y) - y \sin (x y) x' = \cos (y)$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $- x \sin (x y) - y \sin (x y) x'$ .

$- x \sin (x y) - y x' \sin (x y) = \cos (y)$

Passaggio 5.2

Somma $x \sin (x y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$

Passaggio 5.3

Dividi per $- y \sin (x y)$ ciascun termine in $- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- y \sin (x y)$ ciascun termine in $- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$ .

$\frac{- y x' \sin (x y)}{- y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y x' \sin (x y)}{y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x' \sin (x y)}{y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $\sin (x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Frazioni separate.

$x' = \frac{1}{- y} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Riscrivi $\frac{\cos (y)}{\sin (x y)}$ come un prodotto.

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Scrivi $\cos (y)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\frac{\cos (y)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.4.1

Dividi $\cos (y)$ per $1$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.4.2

Converti da $\frac{1}{\sin (x y)}$ a $\csc (x y)$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.5.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{- 1 (- 1)}{- y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{1}{y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.6

Moltiplica $- \frac{1}{y} (\cos (y) \csc (x y))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.6.1

$\cos (y)$ e $\frac{1}{y}$ .

$x' = - \frac{\cos (y)}{y} \csc (x y) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.6.2

$\csc (x y)$ e $\frac{\cos (y)}{y}$ .

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.7

Elimina il fattore comune di $\sin (x y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x}{- y}$

Passaggio 5.3.3.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} - \frac{x}{y}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} - \frac{x}{y}$