Calcolo Esempi

$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 5 \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $25$ da $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $25$ da $- 25$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $25$ da $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $25 \tan^{2} (t)$ come ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $5 \tan (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $5 \tan (t)$ da $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int 5 \sec (t) \sec (t) d t$

Passaggio 3

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 4

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Passaggio 5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 5 {\sec (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 6

Somma $1$ e $1$ .

$\int 5 \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 7

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 8

Poiché la derivata di $\tan (t)$ è $\sec^{2} (t)$ , l'integrale di $\sec^{2} (t)$ è $\tan (t)$ .

$5 (\tan (t) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$5 \tan (t) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$5 \tan (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$5 \tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$