Calcolo Esempi

$\frac{x}{e^{x}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riordina i termini.

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} x + e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.4.2.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.4.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{x} (- x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Passaggio 1.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 1.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 1.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Passaggio 1.4.3.2.4

Dividi $e^{- x} (- x + 1)$ per $1$ .

$e^{- x} (- x + 1)$

Passaggio 1.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

Passaggio 1.4.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

Passaggio 1.4.6

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Passaggio 1.4.7

Riordina i fattori in $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x e^{- x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x$ .

$- (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.9

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 2.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

Passaggio 2.4.2.3

Sottrai $e^{- x}$ da $- e^{- x}$ .

$x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i fattori in $e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$