Calcolo Esempi

$\int \frac{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}{x} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x}}{x} d x$

Passaggio 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}}{x} d x$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x^{\frac{1}{3}}$ da $x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $x^{\frac{1}{3}}$ da $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x} d x$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica per $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{x} d x$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $x^{\frac{1}{3}}$ da $x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{6}} + 1)}{x} d x$

Passaggio 1.2

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x \cdot x^{- \frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 1.3

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{1} x^{- \frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 1.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{1 - \frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 1.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{3 - 1}{3}}} d x$

Passaggio 1.3.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Passaggio 2

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Passaggio 3.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{\frac{1}{6}} x^{- \frac{2}{3}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- \frac{2}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 4.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\int x^{\frac{1 - 4}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 4.7

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $6$ .

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Passaggio 4.7.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\int x^{\frac{3 (- 1)}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 4.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.7.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 4.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 4.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 4.8

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + 3 x^{\frac{1}{3}} + C$

Passaggio 9

Semplifica.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + C$