Calcolo Esempi

$\int {(e^{3 x} - 2)}^{2} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(e^{3 x} - 2)}^{2}$ come $(e^{3 x} - 2) (e^{3 x} - 2)$ .

$\int (e^{3 x} - 2) (e^{3 x} - 2) d x$

Passaggio 1.2

Espandi $(e^{3 x} - 2) (e^{3 x} - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{3 x} (e^{3 x} - 2) - 2 (e^{3 x} - 2) d x$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{3 x} e^{3 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 (e^{3 x} - 2) d x$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{3 x} e^{3 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $e^{3 x}$ per $e^{3 x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int e^{3 x + 3 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Passaggio 1.3.1.1.2

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$\int e^{6 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$\int e^{6 x} - 2 \cdot e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\int e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 4 d x$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $2 e^{3 x}$ da $- 2 e^{3 x}$ .

$\int e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 4 d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int e^{6 x} d x + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = 6 x$ . Allora $d u_{1} = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = 6 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{6} d u_{1} + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 4

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 7

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 \int e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = 3 x$ . Allora $d u_{2} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = 3 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2} + \int 4 d x$

Passaggio 9

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2} + \int 4 d x$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 4 d x$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{3}$ e $- 4$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 4}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Passaggio 11.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{4}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Passaggio 12

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{4}{3} (e^{u_{2}} + C) + \int 4 d x$

Passaggio 13

Applica la regola costante.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{4}{3} (e^{u_{2}} + C) + 4 x + C$

Passaggio 14

Semplifica.

$\frac{1}{6} e^{u_{1}} - \frac{4}{3} e^{u_{2}} + 4 x + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x$ .

$\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{u_{2}} + 4 x + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x} + 4 x + C$