Calcolo Esempi

$y = \frac{a^{2} + x^{2}}{a^{2} - x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = a^{2} + x^{2}$ e $g (x) = a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{(a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [a^{2} + x^{2}] - (a^{2} + x^{2}) \frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a^{2} + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(a^{2} - x^{2}) (\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (a^{2} + x^{2}) \frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $a^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(a^{2} - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (a^{2} + x^{2}) \frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (a^{2} + x^{2}) \frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(a^{2} - x^{2}) (2 x) - (a^{2} + x^{2}) \frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (a^{2} - x^{2}) x - (a^{2} + x^{2}) \frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $a^{2} - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (a^{2} - x^{2}) x - (a^{2} + x^{2}) (\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $a^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (a^{2} - x^{2}) x - (a^{2} + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (a^{2} - x^{2}) x - (a^{2} + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (a^{2} - x^{2}) x - (a^{2} + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica.

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Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 (a^{2} - x^{2}) x + 1 (a^{2} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $a^{2} + x^{2}$ per $1$ .

$\frac{2 (a^{2} - x^{2}) x + (a^{2} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (a^{2} - x^{2}) x + (a^{2} + x^{2}) (2 x)}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.12

Sposta $2$ alla sinistra di $a^{2} + x^{2}$ .

$\frac{2 (a^{2} - x^{2}) x + 2 \cdot (a^{2} + x^{2}) x}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 a^{2} + 2 (- x^{2})) x + 2 (a^{2} + x^{2}) x}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 a^{2} x + 2 (- x^{2}) x + 2 (a^{2} + x^{2}) x}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 a^{2} x + 2 (- x^{2}) x + (2 a^{2} + 2 x^{2}) x}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 a^{2} x + 2 (- x^{2}) x + 2 a^{2} x + 2 x^{2} x}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 a^{2} x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 a^{2} x + 2 x^{2} x}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 a^{2} x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 a^{2} x + 2 x^{2} x}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 a^{2} x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 a^{2} x + 2 x^{2} x}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 a^{2} x + 2 (- x^{3}) + 2 a^{2} x + 2 x^{2} x}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 a^{2} x - 2 x^{3} + 2 a^{2} x + 2 x^{2} x}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 a^{2} x - 2 x^{3} + 2 a^{2} x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.5.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 a^{2} x - 2 x^{3} + 2 a^{2} x + 2 (x^{1} x^{2})}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 a^{2} x - 2 x^{3} + 2 a^{2} x + 2 x^{1 + 2}}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 a^{2} x - 2 x^{3} + 2 a^{2} x + 2 x^{3}}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Combina i termini opposti in $2 a^{2} x - 2 x^{3} + 2 a^{2} x + 2 x^{3}$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Somma $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{2 a^{2} x + 2 a^{2} x + 0}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $2 a^{2} x + 2 a^{2} x$ e $0$ .

$\frac{2 a^{2} x + 2 a^{2} x}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Somma $2 a^{2} x$ e $2 a^{2} x$ .

$\frac{4 a^{2} x}{{(a^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.6.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = a$ e $b = x$ .

$\frac{4 a^{2} x}{{((a + x) (a - x))}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Applica la regola del prodotto a $(a + x) (a - x)$ .

$\frac{4 a^{2} x}{{(a + x)}^{2} {(a - x)}^{2}}$