Calcolo Esempi

$x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2} = 10$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2}) = \frac{d}{d x} (10)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3 \ln (y) + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (y)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \ln (y)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$2 x - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 x - 3 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$2 x - 3 (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x - 3 (\frac{1}{y} y') + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

$\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$2 x - 3 \frac{y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.5

$- 3$ e $\frac{y'}{y}$ .

$2 x + \frac{- 3 y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x - \frac{3 y'}{y} + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x - \frac{3 y'}{y} + 2 y y'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y}$

Passaggio 3

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, 1, y, 1$

Passaggio 5.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $2 y y' + 2 x - \frac{3 y'}{y} = 0$ per $y$ .

$2 y y' y + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.2.1.1.1

Sposta $y$ .

$2 (y \cdot y) y' + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y - \frac{3 y'}{y} y = 0 y$

Passaggio 5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 5.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 y'}{y}$ nel numeratore.

$2 y^{2} y' + 2 x y + \frac{- 3 y'}{y} y = 0 y$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 y^{2} y' + 2 x y + \frac{- 3 y'}{y} y = 0 y$

Passaggio 5.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y^{2} y' + 2 x y - 3 y' = 0 y$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $0$ per $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y - 3 y' = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 5.3.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y^{2} y' - 3 y' = - 2 x y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $2 y^{2} y' - 3 y'$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y'$ da $2 y^{2} y'$ .

$y' (2 y^{2}) - 3 y' = - 2 x y$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $y'$ da $- 3 y'$ .

$y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 3 = - 2 x y$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 3$ .

$y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $2 y^{2} - 3$ ciascun termine in $y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $2 y^{2} - 3$ ciascun termine in $y' (2 y^{2} - 3) = - 2 x y$ .

$\frac{y' (2 y^{2} - 3)}{2 y^{2} - 3} = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y^{2} - 3$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 y^{2} - 3)}{2 y^{2} - 3} = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x y}{2 y^{2} - 3}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{2 y^{2} - 3}$